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方差公式概率论变形两张分母为什么是n-1变形

发布时间:2021-07-25 09:07源自:知识作者:小街网阅读()

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方差公式概率论变形两张分母为什么是n-1变形
  方差是数学统计学范畴的重要概念,下面小编就带领大家盘点一下方差的概念以及方差的计算公式,希望对大家有所帮助。

1方差的定义和公式

设一组数据x1,x2,x3……xn中,各组数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2……(xn-x)2,那么就可以用他们的平均数对其进行衡量,公式为

方差公式概率论变形两张分母为什么是n-1变形

该公式主要用来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。为了简便我们也可以将其记做

方差公式概率论变形两张分母为什么是n-1变形(其中x为该组数据的平均值)

如果一组数据的方差越小,那么就证明该组数据的稳定性较高。

  方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数,公式为:
  其中,x表示样本的平均数,n表示样本的数量,xi表示个体,而s^2就表示方差。
  平方差:a²-b²=(a+b)(a-b)。文字表达式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。此即平方差公式。
  标准差:标准差=sqrt(((x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2)/n)。是离均差平方的算术平均数的平方根,用σ表示。在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。
  样本方差公式中为什么要除以(n-1)而不是n呢?
  总体方差为σ²,均值为μ
  S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]/(n-1)
  X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n
  设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2
  E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]
  =E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2.+(Xn)^2-2X*Xn+X^2]
  =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)]
  =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)]
  =E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2]
  而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ²+μ²
  E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ²/n+μ²
  所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]
  =n(σ²+μ²)-n(σ²/n+μ²)
  =(n-1)σ²
  所以为了保证样本方差的无偏性
  S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2.+(Xn-X)^2]/(n-1)
  E(S)=(n-1)σ²/(n-1)=σ²
 

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